『円周率>3.05』アシスタントとして回答する

証明１：正八角形を用いた円周率の評価

「円周の長さよりも内接する正多角形の周の長さのほうが短い」ことを利用して，円周率が大きいことを示します。

半径 1 の円の円周の長さは，2π である。 また，この円に内接する正八角形の一辺の長さは，余弦定理より$\sqrt{2-\sqrt{2}}$なので、８倍しても2πより小さいです。 $\sqrt{2-\sqrt{2}}$の４倍を計算すると3.06より大きい。

証明２：周の長さを用いた円周率の評価

さきほどは円に内接する正八角形を考えましたが，周の長さが求まる図形なら正多角形である必要はありません。 |(0,5),(3,4),(4,3)(5,0)は半径 5 の円周上の点である。 よって，これら 4 点を結ぶ折れ線の長さの四倍は円周の長さより小さい。

$4(2\sqrt{10}+\sqrt{2})$は30.9より大きく10πより小さいです。

証明３：面積による円周率の評価 「円に内接する多角形の面積 <円の面積」であることを利用します。 ただし，面積を用いる評価は円周による評価よりも緩い評価しか得られません。 3.05 より大きいことを証明するには正二十四角形を使う必要があります。 半径が 1 の円に内接する正二十四角形の面積は，$0.5\times\sin{15^{\circ}}\times24$です。 この面積は3.10より小さいです。

証明４：積分を用いた円周率の評価 $1/(1+\sqrt{x}^2)$の積分を用いた方法もあります。 上に凸である性質を利用して、$0$から$1/\sqrt{3}$まで積分の値を台形により下から抑えます。 この下界が3.11より大きいので証明完了。

証明５：マクローリン型不等式を用いた証明 有名不等式：cos xのマクローリン展開の２次の項までの近似不等式において，xにπ/6を代入すると証明できます。